W trakcie Crash Course poznasz wiele kluczowych zagadnień, ale żadne z nich nie jest tak ważne jak zjawisko „wzrostu wykładniczego”. Zrozumienie tego czym jest „wzrost wykładniczy” zwiększy nasze szanse zbudowania lepszej przyszłości.
Oto charakterystyczny wykres w kształcie kija hokejowego, który przedstawia wzrost wykładniczy. Tak wygląda zależność pewnej wielkości od czasu. By wykres miał taką postać jak na ekranie, mierzona wielkość w każdej jednostce czasu powinna stale wzrastać o pewien procent w stosunku do wartości poprzedniej. Im mniejszy będzie ten procent, tym dłuższy czas jest potrzebny do tego by krzywa przyjęła kształt kija hokejowego.
Istotną cechą funkcji wykładniczej jest to, że jej wartości rosną coraz szybciej i szybciej, mimo tego, że tempo wzrostu procentowego jest stałe.
Widzisz teraz na ekranie wykres zjawiska, którego tempo wzrostu procentowego jest mniejsze niż 1% rocznie. Jest to krzywa wzrostu populacji ludzi na świecie. Ponieważ populacja ta rośnie w tempie około 1% rocznie, to kształt kija hokejowego zobaczymy dopiero w skali kilku tysięcy lat. Zielona część wykresu przedstawia historyczny przebieg zmian, natomiast czerwona odpowiada najnowszej prognozie ONZ, co do wzrostu liczby mieszkańców Ziemi w ciągu najbliższych 42 lat.
Z pewnością puryści matematyczni czują się teraz trochę nieswojo, gdyż nie przedstawiam tych informacji tradycyjnie i w ścisły sposób. Matematycy przedstawiając wzrost wykładniczy odnoszą go do procentowego tempa zmian, ale my odnosimy go do ilościowego tempa zmian. Obydwa sposoby prezentacji wzrostu wykładniczego są równoważne. Pierwszy pozwala na ujęcie wzrostu w formę eleganckiego wzoru matematycznego, natomiast drugi sposób prezentacji ułatwia intuicyjne zrozumienie zależności przez większość ludzi.
W odróżnieniu od procentowego, ilościowe tempo zmian nie jest stałe; rośnie i rośnie coraz szybciej w miarę upływu czasu i dlatego jest to dla nas ważniejsze niż stopa wzrostu, ponieważ pozwala na ocenę samej wielkości zmian. Jest to zagadnienie tak istotne, że poświęcę mu cały następny rozdział.
Matematycy wytkną mi też zapewne, że w funkcji wykładniczej nie ma żadnego „punktu przegięcia”, gdyż jest to jedynie artefakt wynikający z tego ,gdzie narysujemy lewą część wykresu. Chodzi o to, że funkcja wykładnicza zawsze ma kształt kija hokejowego, w każdej jednostce czasu, pod warunkiem jednak, że dopasujemy odpowiednio lewą stronę osi.
W sytuacji, kiedy znamy granice wielkości którą mierzymy, można tak dopasować lewą część wykresu, że pojęcie „punktu przegięcia” staje się prawdziwe i bardzo istotne. Powiem nawet, że nasza przyszłość zależy od tego ilu z nas doceni wagę tej kwestii.
Przykładowo całkowita pojemność środowiska Ziemi w odniesieniu do ludzkiej populacji znajduje się gdzieś w tym obszarze, z dokładnością do paru miliardów. Z tego powodu „punkt przegięcia” jest bardzo realny i niesłychanie dla nas ważny, i nie jest to żadna sztuczka graficzna…
Najistotniejszą rzeczą, o których trzeba pamiętać, jeśli chodzi o funkcje wykładnicze to ich „przyspieszanie”.
Możesz postrzegać kluczową cechę funkcji wykładniczej na dwa różne sposoby:
Możesz postrzegać kluczową cechę funkcji wykładniczej na dwa sposoby: albo jako ILOŚĆ, która jest dodawana w coraz większy porcjach w każdej jednostce czasu, albo jako zmniejszanie się CZASU pomiędzy kolejnymi wzrostami o taką samą wartość. Tak czy inaczej mamy do czynienia z „przyspieszeniem”.Dobrym przykładem „przyspieszania” jest wzrost populacji. Jeśli wystartujemy z poziomu 1 miliona ustalając skromnie tempo wzrostu na około 1% rocznie, to osiągniemy pierwszy miliard w ciągu 694 lat. Jednak drugi miliard mieszkańców Ziemi pojawi się już po 100 latach. 3 miliardy odnotujemy po niespełna 42 latach! Potem kolejne progi to 29, 22 i na końcu tylko 18 lat, by osiągnąć poziom 6 miliardów. Zatem każdy wzrost populacji o kolejny miliard wymagał coraz krótszego czasu! Wyraźnie widać, jak działa „przyspieszanie”.
Następny wykres obrazuje zużycie ropy naftowej, najważniejszego ze wszystkich zasobów, którego zużycie rosło w tempie bliskim 3% rocznie. Możemy zauważyć krzywą hokejową już po około 150 latach. I tutaj możemy dopasować lewą stronę osi, ponieważ wiemy z rozsądną dokładnością, ile ropy maksymalnie jest w stanie produkować świat. Znowu „punkt przegięcia” jest tu niezwykle istotny.
Na tym wykresie widzisz ilość pieniędzy emitowanych przez USA. Wielkość ta wzrastała w niezwykle szybkim tempie, wahając się między 5 a 18% rocznie. By dostrzec efekt kija hokejowego wystarczy tu jedynie kilkadziesiąt lat.
A oto wykresy światowego zużycia wody, tempa wymierania gatunków, ilości wyeksploatowanych łowisk i powiększania się obszaru wyciętych lasów. Każdy z tych zasobów kiedyś się skończy, tak jak wiele innych zasobów, z których spora część zbliża się do swoich granic.
To jest świat, w którym żyjesz. Jeśli wydaje Ci się, że tempo zmian przyśpiesza, to tak właśnie jest. Zdarzyło Ci się żyć w czasach kiedy ludzie będą musieli zmierzyć się z faktem, że nasz wykładniczy system monetarny i zużycie zasobów napotkają kiedyś nienaruszalne, fizyczne granice.
Za każdym z tych wykresów, za każdą jego częścią stoi rosnąca liczba ludzi na powierzchni naszej planety.
Każdy z tych wykresów badany z osobna, mógłby być sygnałem alarmowym o stanie planety dla każdej odpowiedzialnej osoby, ale musimy też pojąć, że te wykresy są w rzeczywistości ze sobą ściśle powiązane. Jest to obraz powiązanych zależności, które są sterowane przez powiązane siły.
Aby spróbować zrozumieć jedną z zależności musielibyśmy także zrozumieć jaki ma związek z pozostałymi które tu pokazaliśmy, a także z wieloma innymi, których tu nie zobrazowaliśmy, gdyż wszystkie one oddziałują ze sobą i wpływają wzajemnie na siebie.
Fakt, że żyjemy na Ziemi, którą opisuje aż tyle wykładniczych wykresów (począwszy od pieniądza, poprzez wzrost populacji aż po wymieranie gatunków), ma olbrzymie implikacje zarówno dla nas dzisiaj jak i dla tych którzy nadejdą po nas.
To właśnie zasługuje na Twoją najwyższą uwagę.
Przejdźmy zatem do następnego rozdziału, który pomoże Ci lepiej zrozumieć prezentowane wykresy. Zapraszam do wysłuchania rozdziału 4. pt „Problemem jest procent składany”.
Następna część: Kurs na zderzenie – rozdział 4: Problemem jest procent składany
Poprzednie części:
